This is 数論 数学研究室４ <Research room 4>
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数論 <Numeric>
一般的な数の成り立ちについての研究です。
<General research for numeric. >
何れも、個人的な事情により、完成途上という状態です。
<All of these are in progress, sigh. >
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素数論について
6/26/03 3:51:49 PM JMT 近藤敏郎
素数とその体系が別扱いになっているのは、実は不思議なことである。数の体系からは、既に数列という概念が数学の世界には提唱され[1] 数体系そのものについての切り替えと、その数体系についての研究が、行なわれても、不思議はないという状況に、現代の数学があると云えるからである。
素数論研究室
（素数論について）
数の定義
数の定義は、困難を極める仕事である。
現代の数学の常識からは、グラフ理論のポーリァ、数え上げ理論の＊＊＊ということになるのかもしれない。
自然数の定義は、ヒューム並びに重農主義・重商主義の近代の哲学者達の議論を無視した、数の概念と数えるという行為は万人（この場合は知性を持った存在）に備わった常識である、という過程に基づいていると言える。
実は、自然数というヤツは、一定の数的処理（１を加えるとういう）操作によって系統発生させることが出来る数のことである。[2]
恐らくは、という過程と独断に基づいて、数の体系について、以下の分類と構成をとる。（疑問・議論歓迎である。）
自然数
整数
分数
少数
無理数
虚数
数学言語での表記は
±（自然数）＊（分数）＊（少数）＊（無理数）＊（虚数部、虚数記号）
という、記載スタイルになるだろう。
これは、別人の意見であるが、「数とは、無次元であるべきという君の主張を展開するとこのぐらいという無次元で精密さを欠く指標でしか表記できないではないか? 」、この論理を裏返して数の定義について考察という方向に沿ったものにした場合、「具体的な数（例えば０にまつわる議論や１という数についての精密な定義（算数的なといってもいいが））とは異なる扱い方による、モノサシという数の概念が出てくる。」これは、大変に面白いアイデアで、数についての本質的・哲学的な推察の一つとみても良い、だろうという意見になっている。（なんとなく、サムバﾃﾞｨに感謝したくなっている。Thanks for somebody.）
以上については、以下の項目を参照のこと
補足：並びに、引用
数 （数学）
すう
物の個数を数えることから自然数（正整数）が生まれた。しかし自然数の集合では加法と乗法しか可能でないため，減法を可能にするため０と負の整数がつけ加えられて整数が生まれ，さらに除法も可能にするため有理数（分数と小数の２表現がある）が考えられた。さらに数の連続性を考慮して無理数を加えて実数へ拡張され，また代数方程式を一般に解けるようにするため虚数を導入し複素数が考えられた。ふつう数といえばこの複素数までの範囲をいうが，これをさらに拡張した四元数などもある。→四則
→関連項目
完全数|記数法|虚数
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四元数
しげんすう
複素数を拡張したもので四つの単位１，i，j，kをもち，a，b，c，dを実数としてa＋bi＋cj＋dkの形で表される。二つの四元数の加減は複素数の場合と同様だが積についてはi2＝j2＝k2＝－１，ij＝－ji＝k，jk＝－kj＝i，ki＝－ik＝jとなる。これにより四元数は乗法の交換法則を除くすべての代数法則（結合法則，分配法則）が成り立ち，その集合は非可換体となる。1840年ごろW.R.ハミルトンが発見。幾何学，物理学等に応用される。→数
→関連項目
代数学
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数 すう Number
ものの個数を数えたり、順序、大小や量のようなものをさししめす語または記号。数学の歴史とともに、数は意味の豊かさと複雑さをましてきた。
有理数
もっとも簡単な数は1, 2, 3, ... のような自然数である。自然数は、正の整数あるいは正の有理整数ともいう。自然数と自然数に負の記号をつけたもの、それにゼロ(0)をあわせたものが整数である。自然数全部の集合は、和と積に関してとじている。つまり、2つの自然数の和、および積はまた自然数である。2つの自然数の商(割り算の結果)は自然数とはかぎらないので、任意の2つの自然数の商を問題にするためには、正の分数を考える必要がある。ここで、自然数nは、分数 n/1 と同じものだとする。さらに、2つの正の分数の差は正の分数とはかぎらないので、負の分数(負の整数を含む)と0も考えておいたほうが便利である。正および負の整数と分数と0をあわせて、有理数という。
2つの有理数の和、差、積、および有理数を0でない有理数で割った商も有理数である。すべての有理数は循環小数、つまりある位から後ろが有限個の数からなるブロックのくりかえしとなる小数であらわされる。逆に循環小数は有理数をあらわす。たとえば、617/50 = 12.34000... や 2317/990
= 2.34040... などである。最初の例は有限小数ともいい、0のくりかえしをはぶいて、12.34と書くのがふつうである。第2の例は、4と0からなるブロックがくりかえされる循環小数であることをしめすために
とあらわす。
無理数
幾何学の発達とともに、さらに別種の数が必要になった。たとえば直角二等辺三角形の2辺の長さが1のとき、斜辺の長さは有理数であらわすことはできない。また、円周率も有理数ではない。こうして無理数をとりいれることが必要になってくる。小数に展開したときに有限小数にも循環小数にもならなければ、その数は無理数である。たとえば
¸ = 1.4142135623... や p = 3.1415926535... は無理数で、小数に展開すると無限につづき、循環小数でもない。有理数と無理数をあわせて実数とよぶ。
複素数
実数の平方は0または正の数である。したがって、方程式
x2 = -1 は実数の範囲では解けない。このような方程式にも解をあたえようとするなら、新しい数をもちこまなければならない。i = · を、この方程式の解をあらわす新しい数とする。a + bi (a、bは実数)の形の数を複素数といい、複素数全部の集合を複素数体という。bが0でない複素数を虚数といい、aが0でbが0でない複素数を純虚数という。bが0であれば、その複素数は実数である。複素数は電気回路の理論をはじめ、物理学など自然科学の分野でなくてはならないものになっている。さまざまな種類の数は、次の表にしめすような関係になっている。
1779年にドイツの数学者ガウスは、
xn + a1xn - 1 + ... + an - 1x + an = 0(a1, a2,
..., an は複素数)
の形のn次の代数方程式は少なくとも1つの複素数の根をもつことを証明した(→ 方程式論)。
実数は直線上の点としてあらわされるが、複素数は平面の点に対応させることができる。複素数 a + bi を xy 平面上で幾何学的にあらわすために、x軸を実数aの軸としてもちい、y軸を純虚数biの軸としてもちいる。複素数
a + bi は座標 (a, b) をもつ点Pに対応する。原点Oから点Pにいたるベクトルによって複素数 a + bi とあらわすと便利である。第1象限にある複素数 a + bi に -1 をかけると、ベクトルOPは180°回転して、点Pは第3象限に移る。反時計回りに90°の回転は、複素数にiをかけることに対応する。
歴史上、数に対してとくに興味深い考え方をしめしたのが、数秘学である。これは、数についての象徴的意味を手がかりに、物事にかくされた神秘をよみとろうとする試みである。もとにしているのは、ギリシアの哲学者で数学者であるピタゴラスの、万物は数であり、さまざまな幾何学的パターンからなっているという教義である。[3]
（「数の定義」の終わり）
無理数について
無理数の合成と、素数のような無理数が存在する可能性について
基底無理数について
（無理数について）
実数と虚数の間
実数とは、虚数に対する対立概念であるといえる。自然数、０、分数、関数（変数又は未知数である）、少数と、数に対する研究と概念は、進んできた訳だが、虚数の発明によって、又、実数という概念も発明されたと言える。
現時点に於ける、実数の定義は、「虚数で無い数」、ということになるだろう。
そうでないとするならば、実数の定義というものが、別に存在するということになる。又、これは実数と虚数との間に別の数の概念が存在するという結論を持つ、議論へと続く。
実数と虚数の間に、（例によって、お得意の理論展開だな、と声が聞こえそうな気がするが……）、別の数の概念が存在するかという疑問に立ち至る。
現時点では、この小論文は、「実数と虚数の間に別の数の概念が存在するか? また、しえるか?」という疑問の提示で終わる。
（実数と虚数の間）
偶数と奇数 <Odd & Even>
偶数とは２で割り切れる数（２の倍数）、奇数とは２で割り切れない数（２の倍数で無い数）。というのが、奇数・偶数の定義である。
何故、２だけが特別？ ということを思いついてしまった。
この考えを展開していくとこの様になった。
２に対して
奇数 ２の非倍数
偶数 ２の倍数
３に対して奇数 ３の奇数カテゴリー１ ３の倍数＋１
３の奇数カテゴリー２ ３の倍数＋２
偶数 ３の倍数
４に対して奇数 ４の奇数カテゴリー １
４の奇数カテゴリー ２
４の奇数カテゴリー ３
偶数 ４の倍数
以下同様に
Nの奇数 カテゴリー １
……
Nの奇数 カテゴリー （n-1）
以上、である。
やれやれである。又、自分のメモが読めない状態になってしまった。
（「奇数と偶数」の終わり）
無理有理数（Tの命名）
無理数の分数表記によって、新規の数を表記できる。 （無名氏のアイデア。名乗り出てくれると、名まえを含めて記載する。）
有理数になる場合と
無理数になる場合が存在し得るだろう。（T 補足）
以上の表記による無理数を、無理有理数（無理数の範疇に存在する、有理数的な数）と定義づける（仮である）。
又、同様に、
基底になる無理数からの系統発生的な数処理[4] によって、系統的に発生させることが出来る。 （無理数論参照のこと）
宇宙人の数学
一般的な数が、常にその系統の中で、一つ前の数よりも一つ大きいというのは、我々地球人類（共通とは限らないのであるが? ）の慣習である。
この系統が、例えば乗算でも、数の体系には変化は無いのでは? 恐らくは、掛け算の操作が通用しなくなる、等の反論がある筈であるが、異なる演算を例えに出した、掛け算の変わりに用いることは可能だろうし、その様な数学の体系も存在し得るだろう、という、疑問が、既に１５年以上前の１９９０年代に頭を過ぎった。
比較的ポピュラーなアイデアになっていた可能性があるので、この数体系群（宇宙人が用いる、宇宙人が用いているかもしれない、という）についての研究が進んでいるかも知れない。確認、出来るニュースの類いには接していないので不明であるが（確率は、どんどんと０に近づいている筈ではあるが…… J）
あ、そうそう、中学生が対数を習うのは、何時のことだったろうか？
なんとなくの疑問である。
history:
updated: 6/26/03 3:33:53 PM JMT
<End of contents. >